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4.3. Problemas seleccionados

1. Otra definición de una elipse. Una elipse se puede definir como el lugar geométrico de los puntos cuya suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante (esto es, en la figura de abajo, que $\overline{F_1P}+\overline{F_2P}=\text{constante}$). A partir de esta definición y de los parámetros descritos en el punto anterior:

a) Muestre que la constante a la que es igual dicha suma es $2a$.

b) Muestre que $a$, $b$ y la distancia focal —definida como la distancia entre el centro $C$ de la elipse y cualquiera de sus focos—, $c$, satisfacen el teorema de pitágoras $a^2=b^2+c^2$.

c) Demuestre a partir de esta definición que la ecuación de la elipse horizontal centrada en $C=(0,0)$ es:

$$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 $$

d) A partir de las relaciones dadas entre $a$, $b$, $e$ y $F$, muestre que $e$ también se puede calcular como $e=c/a$.

e) A partir de la definición conceptual de $p$ dada en el punto 1, muestre que el \textit{semilatus rectum} también se puede calcular como $p=b^2/a$.

Figura 4.37. Una elipse con algunos puntos resaltados.

1. Ecuación de una elipse. Encuentre la ecuación general de la elipse cuyo semilatus rectum valga 9 y excentricidad sea 0.5.

1. Parámetros geométricos. Defina conceptualmente a qué corresponden cada uno de los siguientes parámetros en el caso de una elipse: a) defina $F$, b) defina $e$, c) defina $p$, d) defina $C$, e) defina $a$, f) defina $b$, g) defina $r$, h) defina $f$, i) defina $E$.

1. Traslación de las cónicas. A partir de una completación de cuadrados, demuestre que la ecuación general de las cónicas sin términos acoplados

$$Ax^2+Cy^2+Dx+Ey+G=0$$

con $A,C\neq 0$ se puede escribir, en su forma ordinaria, como

$$\frac{x'^2}{q}+\frac{y'^2}{t}=1,$$

donde $x'$ y $y'$ son las coordenadas de un punto en el sistema trasladado dadas por

$$x' = x+\frac{D}{2A},$$$$y' = y+\frac{E}{2C}$$

y $q,t$ están dadas por

$$q = -\frac{G}{A}+\frac{D^{2}}{4A^{2}}+\frac{E^{2}}{4AC},$$$$t = -\frac{G}{C}+\frac{D^{2}}{4AC}+\frac{E^{2}}{4C^{2}}.$$

¿Qué condiciones se deben dar para que dicha cónica sea una circunferencia, una elipse o una hipérbola? Dé un ejemplo numérico sencillo de cada una.

1. Rotación de cónicas. A partir de la ecuación general de la cónica con términos acoplados

$$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + G = 0$$

aplique una rotación de la forma

$$x = x' \cos\theta - y' \sin\theta $$$$y = x' \sin\theta + y' \cos\theta $$

y demuestre que si se rota el sistema de coordenadas original un ángulo $\theta$ que satisface

$$\tan 2\theta = \frac{B}{A-C},$$

los nuevos ejes estarán alineados con los ejes de simetría.

1. Órbitas de cometas. El semieje mayor de un cometa es de 20 AU y la distancia entre el foco y el perihelio es de 1 AU.

a) ¿Cuál es la excentricidad de la órbita?

b) ¿Cuánto vale el semieje menor?

c) ¿Cuánto vale el semilatus rectum?

d) Escriba la ecuación de este cometa en coordenadas polares.

e) Haga un bosquejo de la situación medianamente a escala.

1. Órbita lunar. Sobre una órbita lunar, el punto más cercano al satélite se conoce como periselenio y el más lejano como aposelenio. La nave Apolo 11 fue puesta en una órbita elíptica alrededor de la luna con una altitud (respecto a la superficie lunar) en el periselenio de 110 km y de 314 km en el aposelenio. Encuentre la ecuación de esta elipse en coordenadas polares si el radio de la luna es de 1728 km y el centro de la luna se encuentra en uno de los focos de la elipse. Haga un bosquejo de la situación medianamente a escala.

1. Anomalías.

a) Demuestre que, para una elipse, la distancia radial, $r$, está relacionada con la anomalía excéntrica, $E$, por medio de la expresión

$$ r=a(1 - e\cos E). $$

b) Demuestre, además, que la anomalía verdadera se relaciona con la anomalía excéntrica a través de

$$ \tan \frac{f}{2} = \sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\tan \frac{E}{2}. $$

1. Parámetros de elipse. Dada la ecuación de la elipse $x^2 + 2y^2 + 2x + y - 6 = 0$ complete cuadrados y llévela a su forma ordinaria, para determina la posición del centro, el semieje mayor, semieje menor, distancia focal y semilatus rectum.

1. Elementos orbitales. Para un satélite en órbita alrededor de la Tierra se tienen los siguientes elementos orbitales: $a=8016.0\mbox{ km}$, $e=0.06$, $I=50^\text{o}$, $\Omega=0.0^\text{o}$, $\omega=30^\text{o}$ y $f=20^\text{o}$. Encuentre el vector de posición en el plano fundamental del ecuador terrestre.

1. Circunferencia máxima. La posición de un punto sobre la Tierra se especifica por su longitud $\phi$ y latitud $\lambda$, como se muestra en la Figura (prob:latlon).

Sean los vectores desde el centro de la Tierra hacia dos puntos $\vec{r}_{1}$ y $\vec{r}_{2}$. El coseno del ángulo $\theta$ entre ellos puede ser hallado a partir de su producto escalar (producto punto), de tal manera que la distancia a lo largo del círculo máximo entre los dos puntos es $R\theta$.

Encuentre una expresión para $\theta$ en términos de las coordenadas de los dos puntos.

Figura 4.38. Definición de elas coordenadas de latitud y longitud sobre la Tierra

1. Derivada temporal de los vectores unitarios. La figura muestra la configuración de un sistema de coordenadas polares definido por ($\hat{r},\hat{\theta}$) relativo a un sistema cartesiano. Los conjuntos de vectores ($\hat{r},\hat{\theta}$) y ($\hat{i},\hat{j}$) son constantes en magnitud pero solamente los vectores cartesianos lo son también en dirección. Conforme la partícula de vector posición $\vec{r}$ se desplaza, los vectores ($\hat{r},\hat{\theta}$) cambian de dirección, de forma tal que es posible definir una derivada temporal de estos.

a) Muestre que

$$ \frac{d\hat{r}}{dt} = \dot{\theta}\hat{\theta} $$$$ \frac{d\hat{\theta}}{dt} = -\dot{\theta}\hat{r} $$

b) Usando los resultados del punto anterior, muestre que el vector aceleración en coordenadas polares viene dado por

$$ \vec{a}=(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)\hat{r} + (r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta})\hat{\theta} $$

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