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6.3. Energía y virial

En la Sección Caso de estudio: el sistema Tierra-Luna le pusimos números a una de las más importantes constantes de movimiento en el problema de los N cuerpos: la Energía.

Para hacerlo, calculamos la energía mecánica total del sistema Tierra-Luna y encontramos, contra toda intuición, que era negativa. La interpretación física de este resultado indica que hace falta energía para separar a la Tierra y la Luna a una distancia enorme; o dicho en otros términos, que el valor negativo de la energía de un sistema de dos partículas indica que la distancia entre ellas esta acotada y forman un sistema ligado.

Este interesante resultado, aunque parece obvio, es evidencia de una afirmación que hemos repetido a lo largo de este capítulo: las constantes de movimiento o integrales en el problema de los N cuerpos, pueden no proveer toda la información necesaria para saber dónde estarán las cuerpos en el futuro, pero ofrecen pistas útiles sobre el destino del sistema.

¿Podríamos generalizar la interpretación del signo de la energía en el sistema Tierra-Luna a sistema formados por un número arbitrario de partículas?

6.3.1. Momento de inercia

Para responder a esta última pregunta deberíamos identificar o definir primero una cantidad física que nos ayude a evaluar la afirmación "las partículas se encuentran a una distancia finita".

No es difícil descubrir que el momento de inercia total $I$ del sistema puede cumplir esta función. Para una nube de partículas, $I$ esta definido como$^1$:

\begin{equation} \label{eq:momento_inercia} I\equiv \sum_i m_i r_i^2 \end{equation}

En términos de esta cantidad podemos decir que el sistema tenderá a disgregarse, si para $t\rightarrow \infty$, también $I\rightarrow \infty$. Al contrario, el sistema colapsará totalmente, si, en algún tiempo finito $t_\mathrm{c}$, el momento de inercia $I\rightarrow 0$ . Un sistema ligado (que no se disgrega, ni colapsa), será aquel que se encuentra entre estos dos extremos.

¿Cómo evoluciona $I$ con el tiempo?

Podemos saberlo si encontramos sus primeras derivadas respecto al tiempo:

$$ \dot I=2\sum_i m_i \vec{r}_i\cdot\dot{\vec{r}}_i $$

Esta primera derivada tiene una propiedad interesante: en una misma cantidad combina, tanto información sobre la posición de las partículas como sobre su velocidad.

Si definimos:

\begin{equation} \label{eq:G} G\equiv\sum_i m_i\vec{r}_i\cdot\dot{\vec{r}_i} \end{equation}

entonces:

\begin{equation} \label{eq:I_G} \dot I=2G \end{equation}

A la "luz" de la función $G$, es más razonable definir un sistema ligado como aquel en el que simultáneamente la posición y la velocidad de las partículas están acotadas. En términos de $G$:

\begin{equation} \label{eq:G_acotada} G_\mathrm{min}\leq G\leq G_\mathrm{max} \end{equation}

6.3.2. El virial

¿Como convertir la condición (G_acotado), que define a un sistema ligado, en una condición sobre la energía del sistema?

No es difícil reconocer que la tasa de cambio de $G$, $\dot G$, incluira términos proporcionales a la energía cinética, que es justamente lo que buscamos:

\begin{equation} \label{eq:dotG} \begin{array}{rcl} \dot G & = & \sum_i m_i {\dot{\vec{r}}_i}^2 + \sum_i \vec{r}_i\cdot (m_i \ddot{\vec{r}}_i)\\ & = & 2K - \sum_i \vec{r}_i\cdot{\vec F}_i \end{array} \end{equation}

En esta expresión aparece una cantidad nueva:

$${\cal V}=\sum_i {\vec r}_i\cdot{\vec F}_i,$$

que depende de las fuerzas que experimentan las partículas del sistema instantáneamente.

${\cal V}$ no tuvo una utilidad reconocida previamente en la mecánica newtoniana hasta 1870 cuando Rudolf Clausius (Clausius, 1870) estudiaba la teoría mecánica de los gases y el calor. Por su relación con la fuerza, cuya palabra en latín es vis (con acusativo viris), Clausius llamo a $\cal V$ el "virial" del sistema$^2$(#teorema_virial) es $\langle\cal V\rangle/2$, donde $\langle\cal V\rangle$ es el promedio de esta cantidad en un intervalo de tiempo muy largo.].

6.3.3. Identidad de Lagrange-Jacobi

En el caso del problema de N partículas que interactúan a través de la fuerza gravitacional Newtoniana (Ec. ncuerpos_edm_potencial) $\{\vec F_i=\partial_{{\vec r}_i} U\}$, el virial viene dado por

\begin{eqnarray} {\cal V} =\sum_i {\vec r}_i\cdot{\vec F}_i = - \sum_i \vec{r}_i\cdot\partial_{{\vec r}_i} U \end{eqnarray}

Es posible demostrar (ver problemas al final del capítulo) que la $U(\{\vec{r}_i\})$ definida por la Ec. (U_no_restringido) es una función homogénea con $k=-1$ (ver Def. U_no_restringido).

Por lo tanto, por el Teo. U_no_restringido el virial de un sistema de N cuerpos es simplemente igual a su energía potencial:

$$ {\cal V} = - \sum_i \vec{r}_i\cdot\partial_{{\vec r}_i} U = U $$

Aplicando este resultado a la Ec. (dotG) obtenemos la denominada Identidad de Lagrange-Jacobi:

\begin{equation} \label{eq:identidad_lagrange_jacobi} \begin{array}{ccc} \dot G & = & 2K+U \\ & = & 2E-U \\ & = & K+E \\ \end{array} \end{equation}

Donde, para la segunda y tercera forma de la identidad, hemos usado el hecho conocido que $E=K+U$.

En virtud de la relación expresada por la Ec. (I_G), una forma alternativa de esta identidad, muy común en la literatura pero más oscura en términos del significado de las cantidades involucradas es:

$$ \ddot I=4K+2U $$

No podemos perder de vista para donde vamos: nuestro propósito era estudiar la posible relación existente entre la energía mecánica total de un sistema y el hecho de que sea un sistema ligado o no.

Para ello, consideremos la última forma de la identidad de Lagrange-Jacobi,

$$\dot G=K+E.$$

Dado que por definición $K\geq0$, si la energía mecánica total del sistema es $E\geq0$, los valores (constantes) de $\dot G$ y de $\ddot I$ serán siempre positivos. Por lo tanto, ambos, $G$ e $I$, independientemente de sus valores iniciales, crecerán indefinidamente y el sistema tenderá a disgregarse (no será un sistema ligado)$^3$

Por otro lado si $E<0$, los signo de $\dot G$ e $\ddot I$, dependerán de la comparación entre $K$ y $|E|$. Sin embargo como el valor de $K$ es variable en el tiempo (recordemos que solo $E$ es constante), no hay manera de predecir, trivialmente, si el sistema estará ligado o no.

En otras palabras, $E<0$ es una condición necesaria (puesto que $E\geq0$ implica un sistema no ligado), mas no suficiente para que un sistema de N cuerpos sea ligado.

6.3.4. Teorema del virial

Puede que no sepamos cuánto vale la energía cinética de un sistema de N cuerpos en un momento dado (para evaluar por ejemplo el signo de $\dot G$ en la identidad de Lagrange-Jacobi), pero podríamos averiguar si esta acotada por un valor máximo y si valor es finito.

Una manera de hacerlo es calcular el promedio asintótico de $K(t)$, que definimos como:

$$ \langle K\rangle=\lim_{T\rightarrow\infty} \frac{1}{T}\int_0^{T} K(t)\;\mathrm{d}t $$

Un sistema en el que la energía cinética tampoco este acotada, para algún tiempo $t$, es decir $K\rightarrow\infty$, tendrá un valor promedio de la energía cinética $\langle K\rangle\rightarrow\infty$ y posiblemente, en virtud de las identidades de Lagrange-Jacobi no sea tampoco un sistema acotado.

Ahora bien, por la identidad de Lagrange-Jacobi (Ec. {eq:identidad_lagrange_jacobi}):

$$ \langle\dot G\rangle=2\langle\dot K\rangle+\langle\dot U\rangle $$

pero:

$$ \langle \dot G\rangle=\lim_{T\rightarrow\infty} \frac{1}{T}\int_0^{T} \dot G dt=\lim_{T\rightarrow\infty} \left(\frac{G(T)-G(0)}{T}\right) $$

donde usamos el teorema fundamental del cálculo (ver Teo. I_G.)

Ahora bien si $G$ esta acotada, es decir si $G_\mathrm{min}\leq G(t)\leq G_\mathrm{max}$

$$ \langle \dot G\rangle=\lim_{T\rightarrow\infty} \left(\frac{G(T)-G(0)}{T}\right)\leq\lim_{T\rightarrow\infty} \left(\frac{G_\mathrm{max}-G_\mathrm{min}}{T}\right)=0 $$

Lo que conduce a uno de los más importantes teoremas de la dinámica de sistemas de muchas partículas:

Proposición: Teorema del virial. Si en un sistema de N cuerpos se define la cantidad física $G\equiv\sum_i m_i\vec{r}_i\cdot\dot{\vec{r}_i}$, la condición $G_\mathrm{max}\leq G\leq G_\mathrm{min}$ ($G$ esta acotada) es necesaria y suficiente$^4$ para que el promedio asintótico de las funciones de energía potencial $U$ y energía cinética $K$, satisfagan:

\begin{equation} \label{eq:teorema_virial_UK} \langle U\rangle=-2\langle K\rangle \end{equation}

o equivalentemente:

\begin{equation} \label{eq:teorema_virial_EK} E=-\langle K\rangle \end{equation}

Donde $\langle f\rangle = \lim_{T\rightarrow\infty} (1/T) \int_0^T f(t)\;\mathrm{d}t$

Puesto en palabras más llanas, en un sistema de N cuerpos ligado, es decir aquel en el que las posiciones y velocidades están acotadas, el negativo del promedio asintótico de la energía cinética es igual a la energía mecánica total. O bien, como es más común encontrarlo en la literatura:

\begin{equation} \label{eq:teorema_virial_canonico} \langle K\rangle=-\frac{1}{2}\langle U\rangle \end{equation}

Aunque las consecuencias del teorema del virial son interesantes, sus aplicaciones prácticas en mecánica celeste, especialmente al estudiar sistemas de pocas partículas, no son muchas. Sin embargo cuando se estudian, tanto en astronomía como en física, sistemas con un número significativo de partículas ($N\rightarrow \infty$), las implicaciones pueden ser muy útiles como veremos en el siguiente caso de estudio.

Caso de estudio: el virial del Sistema Solar

Podemos comprobar el teorema del virial en el caso del sistema Solar, tomando los cuerpos más masivos del sistema y en los que asumimos se concentra la mayor parte de la energía cinética y potencial gravitacional del sistema: El Sol, Júpiter y Saturno.

Para ello, podemos usar como base los Algs. (estado_tierra_luna,energia_tierra_luna), con la diferencia que ahora debemos calcular las posiciones y velocidades de los cuerpos no en uno, sino en muchos tiempos (valores que nos serviran para calcular los promedios.) El siguiente algoritmo prepara la información básica requerida para nuestro cálculo:

In [1]:
#Constante de gravitación universal 
G=6.67e-20 # km^3 / kg s^2

#Carga kernels con posiciones (bsp) y masas (tpc)
import spiceypy as spy
spy.furnsh('pymcel/data/de430.bsp')
spy.furnsh('pymcel/data/de430.tpc')

#Número de valores de tiempo
Nt=100

#Lista de tiempos en los que calcularemos el virial:
#Tomamos 60 años que es aprox. 2 veces el período de Saturno
from numpy import linspace
tefs=linspace(0.0,60*356.25*86400,Nt)

#Masas de los cuerpos
msol=spy.bodvrd("SUN","GM",1)[1][0]/G
mjupiter=spy.bodvrd("JUPITER_BARYCENTER","GM",1)[1][0]/G
msaturno=spy.bodvrd("SATURN_BARYCENTER","GM",1)[1][0]/G

Con estos datos en mano podemos calcular ahora la energía cinética del sistema, la energía potencial (Ec. potencial_tres_cuerpos) y la energía total, para cada valor del tiempo escogido. Una vez calculadas estas cantidades podemos determinar su valor promedio:

In [2]:
from numpy.linalg import norm
Ks=[]
Us=[]
Es=[]
for tef in tefs:
    #Posiciones, velocidades, energías cinéticas
    sol,tluz=spy.spkezr("SUN",tef,
                        "ECLIPJ2000","None","SSB")
    rsol=sol[:3]
    vsol=sol[3:]
    K_sol=0.5*msol*norm(vsol)**2
    
    jupiter,tluz=spy.spkezr("JUPITER_BARYCENTER",tef,
                            "ECLIPJ2000","None","SSB")
    rjupiter=jupiter[:3]
    vjupiter=jupiter[3:]
    K_jup=0.5*mjupiter*norm(vjupiter)**2
    
    saturno,tluz=spy.spkezr("SATURN_BARYCENTER",tef,
                            "ECLIPJ2000","None","SSB")

    rsaturno=saturno[:3]
    vsaturno=saturno[3:]
    K_sat=0.5*msaturno*norm(vsaturno)**2

    #Distancias entre los cuerpos
    r_jup_sol=norm(rjupiter-rsol)
    r_sat_sol=norm(rsaturno-rsol)
    r_jup_sat=norm(rjupiter-rsaturno)
    
    #Energia potencial
    U_jup_sol=-G*mjupiter*msol/r_jup_sol
    U_sat_sol=-G*msaturno*msol/r_sat_sol
    U_jup_sat=-G*mjupiter*msaturno/r_jup_sat

    #Energía cinética, potencial y mecánica
    Ktot=K_sol+K_jup+K_sat
    U=U_jup_sol+U_sat_sol+U_jup_sat
    E=Ktot+U
    
    #Guarda valores en la lista
    Ks+=[Ktot]
    Us+=[abs(U)]
    Es+=[abs(E)]

<K> = 1.883839013581885e+29 kg km^2/s^2
<U>/2 = -1.8840677890439464e+29 kg km^2/s^2
E = -1.8842965645060087e+29 kg km^2/s^2

Como vemos, las tres cantidades coinciden (con un margen de error del 0.1%) con lo esperado a partir del teorema del Virial.

Podemos también hacer un gráfico de $K$ (lista Ks), $|U|$ (lista Us) y $|E|$ (lista Es):

In [4]:
from numpy import max
import matplotlib.pyplot as plt
plt.plot(tefs,Ks,'k-',label="$K$")
plt.plot(tefs,Us,'b--',label="$|U|$")
plt.plot(tefs,Es,'r:',label="$|E|$")

plt.legend()
plt.ylim(0,max(Us));
plt.xlabel("$t_{ef}$ (segundos)");
plt.ylabel("$K,|U|,|E|$ (Joules)");

Figura 6.66.

Como podemos ver en la Figura (code:virial_sistema_solar), los resultados coinciden otra vez con nuestras expectativas:

  • La energía total $E$ (línea punteada) es constante, confirmando la validez del teorema de conservación de la energía mecánica en el Sistema Solar.

  • El valor promedio de la energía cinética del sistema (promedio de la línea continua) es igual al valor absoluto de la energía total, lo que confirma el teorema del Virial (Ec. teorema_virial_EK).

  • El valor absoluto del promedio de la energía potencial del sistema (promedio de la línea rayada), es el doble que el promedio de la energía cinética, lo que confirma también el teorema del Virial (Ec. teorema_virial_UK).

6.3.5. Caso de estudio: la masa de cúmulos de galaxias

Mosaico en falso color del cúmulo de Galaxias de Coma que combina imágenes en luz visible e infrarrojo. Crédito: NASA / JPL-Caltech / L. Jenkins (GSFC).

Figura 6.67. Mosaico en falso color del cúmulo de Galaxias de Coma que combina imágenes en luz visible e infrarrojo. Crédito: NASA / JPL-Caltech / L. Jenkins (GSFC).

Otro interesante caso de aplicación del teorema del virial en astronomía, tiene que ver con el estudio la distribución de masa en cúmulos de estrellas y galaxias.

Se dice que un cúmulo de galaxias, estrellas o simplemente de "partículas" de materia oscura, esta "virializado", si ha alcanzado un estado dinámico en el cuál el teorema del virial describe apropiadamente los promedios estadísticos de sus propiedades cinemáticas (velocidades y posiciones.) En virtud de las condiciones del Teo. (teorema_virial_UK), esto significa, esencialmente, que el sistema es ligado o estable a largo plazo.

Si asumimos que las partículas del cúmulo tienen una distribución esférica con una densidad aproximadamente uniforme y con un radio característico $R_\mathrm{vir}$ (dentro del cual hay una masa $M_\mathrm{vir}$), la energía potencial promedio del cúmulo será igual a:

$$ \langle U\rangle=-\frac{3GM_\mathrm{vir}^2}{5R_\mathrm{vir}} $$

Por su parte si asumimos que todas las partículas tienen la misma masa, el promedio de la energía cinética total será:

$$ \langle K\rangle=\frac{1}{2} M_\mathrm{vir}\langle v^2\rangle $$

Usando el teorema del virial obtenemos:

\begin{equation} \label{eq:virial_v_dispersion} \frac{3GM_\mathrm{vir}}{5R_\mathrm{vir}}=\langle v^2\rangle \end{equation}

Si se puede estimar o medir el radio del sistema y el promedio del cuadrado de las rapideces de las partículas, la masa se puede de un cúmulo se puede estimar usando:

$$ M_\mathrm{vir}=\frac{5R_\mathrm{vir}\langle v^2\rangle}{3G} $$

En el algoritmo a continuación estimamos la masa de virial del cúmulo de Coma (ver Figura (coma_cluster)) para el cuál se ha estimado que $R_\mathrm{vir}\approx 2\times 10^6$ pc (parsecs$^5$) y $\langle v^2\rangle^{1/2}\approx 1.000$ km/s (datos obtenidos de Gavazzi et al., 2019 y Strubble et al., 2019 respectivamente):

In [5]:
#Constante gravitacional
G=6.67e-20 # km^3 / kg s^2

#Parsec y año-luz
pc=3.26
al=9.46e12 #km 

#Radio del viral
Rvir=2e6*pc*al

#Dispersión de velocidades
v2=1000**2

#Masa del virial del cúmulo
Mvir=5*Rvir*v2/(3*G)

Masa del virial del cúmulo de Coma:
1.5412093953023487e+45 kg

Que equivale a $\sim7\times10^{14}\;M_\odot$ ($1\;M_\odot\approx 2\times10^{30}$ kg), o lo que es lo mismo a la masa de las estrellas y el gas de unas 10.000 galaxias típicas.

Un poco de historia: Fritz Zwicky, el teorema del virial y la materia oscura. La estimación de la masa del cúmulo de Coma, usando el teorema del virial, que presentamos aquí, reproduce el trabajo del reconocido astrónomo suizo Fritz Zwicky ("Fritz tsviky"), uno de los primeros en aplicar el teorema en Astronomía.

En 1933, Zwicky presento en la revista Suiza Helvetica Physica Acta un artículo titulado "El desplazamiento al rojo de las nebulosas extragalácticas". En este artículo, usando estimaciones del número y la masa de las galaxias del Cúmulo (que midió a partir de su luminosidad), así como medidas de su radio aproximado, Zwicky calculó la dispersión de velocidades $\langle v^2\rangle$ con la Ec. (virial_v_dispersion).

Para su sorpresa las velocidades típicas estimadas con el teorema del virial para las galaxias en el cúmulo, $\langle v^2\rangle^{1/2}\approx 80$ km/s, eran casi 10 veces menores que las que se obtenían al medir el corrimiento espectral de la luz de las galaxias. Es decir, las galaxias reales se estaban moviendo tan rápido en el cúmulo que este sistema no podría estar ligado (satisfacer el teorema del virial).

Otra posibilidad era que la masa usada en la Ec. (virial_v_dispersion) y que el supuso podía estimar a partir de la materia luminosa de las galaxias, fuera en realidad 10 veces mayor. Esto implicaba la existencia de una forma de materia invisible (que no emite luz) y que Zwicky llamo en su artículo en alemán dunkle Materie o Materia oscura.

En 1937, Zwicky publicó, en inglés, una versión extendida de su trabajo en la prestigiosa revista americana The Astrophysical Journal (Zwicky, 1937), donde estimó la masa del cúmulo, a partir de la dispersión de velocidades medida, siguiendo un procedimiento similar al desarrollado aquí. El resultado confirmo sus estimaciones de 1933: el cúmulo de Coma, que contiene unas $\sim 1000$ galaxias, tiene una masa equivalente a $\sim 10000$ galaxias (tal y como estimamos en el Algoritmo masa_coma_cluser.) Es decir el contenido de materia oscura del cúmulo, supera por un factor de $\sim 10$ el de materia luminosa (estrellas y nubes de gas).

Hoy la existencia de la materia oscura es soportada por un gran número de observaciones diferentes (curvas de rotación de galaxias, formación de grandes estructuras, lentes gravitacionales, etc.) pero su naturaleza física (en el tiempo de Zwicky se sospechaba que podría ser simplemente materia convencional poco luminosa) ha escapado a los más sesudos esfuerzos teóricos y a las más delicadas búsquedas experimentales. A la fecha de preparación de este libro el misterio de la composición de la materia oscura, cuya existencia fue sugerida por una ingeniosa aplicación del teorema del virial, sigue abierto.

NOTAS AL PIE:

  1. La definición del momento de inercia aparece originalmente en la mecánica newtoniana al estudiar la cinemática y dinámica del movimiento de cuerpos rígidos.

  1. En realidad el "virial" original de Clausius, por razones que de verán en la [Sección teorema del virial

  1. Es interesante anotar que para que $I$ crezca indefinidamente, basta que al menos una partícula, por ejemplo la partícula $k$, escape del sistema, esto es que $r_k\rightarrow\infty$ cuando $t\rightarrow\infty$.

  1. La condición de que $G$ este acotada es demasiado restringente. Es posible mostrar, por ejemplo, que en el caso de un sistema de dos cuerpos que se mueven sobre una parábola, también se cumple el teorema del Virial. Por lo tanto, existe una condición mucho más general y satisfactoria para formular el teorema que puede encontrarse en (Pollard, 1964). Esta condición sin embargo no afecta las conclusiones que obtenemos en este libro para sistemas generals

  1. 1 parsec = 3.26 a.l., 1 año-luz = $9.46\times 10^{12}$ km

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