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10.1. Problemas seleccionados¶

Partícula deslizandose sobre un alambre parabólico. Una partícula de masa $m$ se desliza bajo la acción de la gravedad y sin fricción sobre un alambre con forma de parábola.

a. Demuestre que el Hamiltoniano de este sistema se escribe como

$$ H(x,p) = \frac{p^2}{2m(1+x^2)} + \frac{mg}{2}x^2 $$

b. Grafique los contornos de nivel de este Hamiltoniano.

Ecuación de Kepler hiperbólica. En un movimiento hiperbólico bajo un potencial de la forma $1/r$, el ángulo análogo a la anomalía excéntrica es $F$ definido mediante la ecuación

$$ r = a(1-e\cosh F) $$
donde $a(e-1)$ es la distancia al periápsis. Encuentre, usando el fomralismo Lagrangiano de la teoría de sistemas sometidos a fuerzas centrales, el análogo a la ecuación de Kepler expresando a $t$ como función de $F$.

Ecuaciones canónicas de Hamilton. Dado el siguiente lagrangiano

$$L\left(q,\dot{q}\right)=\frac{1}{2}\dot{q}^{2}+q\dot{q}+3q^{2},$$
encuentre la función Hamiltoniana y solucione las ecuaciones canónicas.

Corchetes de Poisson y constantes de movimiento. Para un sistema de dos grados de libertad que es descrito por el Hamiltoniano

$$H=q_{1}p_{1}-q_{2}p_{2}-aq_{1}^{2}+bq_{2}^{2},$$
muestre, mediante el uso de corchetes de Poisson, que
\begin{eqnarray} F_{1}&=&\frac{p_{1}-aq_{1}}{q_{2}}\\F_{2}&=&q_{1}q_{2} \end{eqnarray}
son constantes de movimiento.

Rueda sin deslizar. Una esfera maciza de radio $r$ rueda sin deslizar en un plano vertical sobre un cascarón esférico cóncavo hacia arriba de radio $R>r$.

a. Encuentre la función Hamiltoniana para este sistema.

b. Escriba las ecuaciones de movimiento.

c. Encuentre la posición de equilibrio del sistema y la frecuencia de pequeñas oscilaciones alrededor de esa posición.

El vector de Laplace-Runge-Lenz. Muestre a partir de la condición de los corchetes de Poisson para cantidades conservadas que el vector de Laplace-Runge-Lenz

$$ \vec{A} = \vec{p}\times \vec{L} - mk\hat{r} $$
es una constante de movimiento en el problema de Kepler.

Condición Simplética. Un sistema dinámico tiene un solo de grado de libertad. Se aplica sobre él una transformación canónica dada por:

\begin{eqnarray} Q & = & q\cos\alpha - p\sin\alpha \\ P & = & q\sin\alpha+p\cos\alpha \end{eqnarray}
a. Muestre que esta transformación satisface la condición simplética para cualquier valor del parámetreo $\alpha$.

b. Encuentre la función generatriz de la transformación.

c. ¿Cuál es el significado físico de la trasnformación para $\alpha=0$ y $\alpha = \pi/2$?

Tipos de transformaciones canónicas. Demuestre la relación entre las variables y la función generatriz para cada uno de los tipos de transformaciones canónicas, así:

a. Transformación canónica de tipo 1: $\{p_j=\partial F_1/\partial q_j, P_j=-\partial F_1/\partial Q_j\}$

b. Transformación canónica de tipo 2: $\{p_j=\partial F_2/\partial q_j, Q_j=\partial F_2/\partial P_j\}$

c. Transformación canónica de tipo 3: $\{q_j=-\partial F_3/\partial p_j, P_j=-\partial F_3/\partial Q_j\}$

d. Transformación canónica de tipo 4: $\{q_j=-\partial F_4/\partial p_j, Q_j=-\partial F_4/\partial P_j\}$

El Hamiltoniano de Hénon-Heiles I. En 1964, M. Hénon y C.Heiles estudiaban el movimiento de las estrellas alrededor del centro galáctico tratando de encontrar una tercera constante de movimento a parte del momentum angular y la energía. Esto les llevo a proponer un potencial idealizado que restringia su acción solo al plano $x,y$. Este potencial se caracteriza por poseer dos términos cúbicos que involucran a las variables $x,y$ haciendo a las ecuaciones de movimiento resultantes no lineales y acopladas. El Hamiltoniano asociado es el Hamiltoniano de Hénon-Heiles que en coordenadas cartesianas se escribe como

$$ H = \frac{p_x^2}{2m} + \frac{p_y^2}{2m} + \frac{1}{2}(x^2+y^2) + x^2y-\frac{1}{3}y^3 $$
a. Deduzca las ecuaciones Hamiltonianas de movimiento.

b. Integre numéricamente las ecuaciones de movimiento usando por un lado el método de Euler y por el otro el integrador simpléctico Leap-Frog. Grafique el comportamiento de la energía como función del tiempo ¿Es la enregía una cantidad conservada con ambos esquemas?

c. Grafique la trayectoria obtenida en el punto anterior en el espacio de configuración.

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