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5.6. Problemas seleccionados¶
- Leyes de conservación.
a) Demuestre que si la fuerza externa sobre un sistema de partículas es 0, entonces el momentum total del sistema se conserva.
b) Demuestre que si el torque externo sobre un sistema de partículas es 0, entonces el momentum angular total del sistema se conserva.
- Lanzamiento de un proyectil. Un proyectil de masa $m$ es disparado desde la superficie de la Tierra bajo un ángulo $\alpha$ desde la vertical como se muestra en la figura. La velocidad inicial $v_0$ es igual a $\sqrt[]{GM_e/R_e}$, donde $M_e$ es la masa de la Tierra y $R_e$ es su radio. ¿Qué tan alto sube el proyectil? Desprecie el aire resistencia y la rotación de la Tierra. (Ayuda: determine qué cantidades se conservan —¡explique claramente porqué!— y aplique las leyes de conservación de dichas cantidades. En algún momento de su procedimiento es posible que encuentre dos posibles valores matemáticos para $r_{max}$; los dos parecen físicamente aceptables, así que explique claramente porqué solo debe escoger uno y en qué consiste el otro.)
- Péndulo de Foucault. Considere un péndulo de masa $m$ que se balancea con frecuencia $\gamma=\sqrt[]{g/l}$, donde $l$ es la longitud del péndulo. Demuestre que el plano en el que se mueve el péndulo gira en dirección de las manecillas del reloj y tarda un tiempo
$$T=\frac{2\pi}{\Omega \sin\phi}$$en dar una vuelta, donde $\Omega$ es la rapidez angular de rotación de la Tierra y $\phi$ la latitud del lugar en donde está el péndulo. ¿Cuánto tarda el plano del péndulo en dar una vuelta en el Polo Norte? ¿En París? ¿En Medellín? ¿Y en el Ecuador?
- ¡Se mueve! Un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad $v_{0}$. Demuestre que, debido a la fuerza de coriolis, el cuerpo caerá en un punto desplazado hacia el oeste por una distancia igual a
$$\Delta x=\frac{4}{3}\Omega\cos\phi\frac{v_0^{3}}{g^2},$$siendo $\Omega$ el modulo de la velocidad angular de la Tierra (asúmala constante), $\phi$ la latitud del lugar donde se lanzó el móvil y $g$ la aceleración debida a la gravedad. Determine $\Delta x$ si el cuerpo se lanza a $v_0=100$ m/s desde Medellín. (Ayuda: en primer lugar, suponga que, a medida que el cuerpo está en el aire, la única componente de la velocidad que afecta a la aceleración de coriolis es la componente radial. ¿Cómo varía dicha componente en el tiempo si $g$ es constante? Teniendo esto en cuenta, solo basta integrar la aceleración de Coriolis dos veces en el tiempo para obtener la respuesta.)
- Fuerza sobre un bebé. Estime la razón entre la fuerza que la estrella más cercana al Sol le hace a un bebé que se encuentra en las manos de una doctora y la fuerza que la doctora le hace al mismo bebé.
- Péndulo simple. La ecuación diferencial para el ángulo $\theta$ que forma un péndulo con la vertical sobre el cual también actúa la fricción del aire es de la forma
$$\ddot\theta(t)+b\dot\theta(t)+c\sin\theta(t)=0,$$donde $b$ y $c$ son constantes positivas. Escriba un código que solucione esta ecuación diferencial y proporcione en una misma gráfica las soluciones para $\theta(t)$ y $\dot\theta(t)$.
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