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En el capítulo anterior desarrollamos en detalle la solución al problema de los dos cuerpos y demostramos con abundantes ejemplos como dicho formalismo constituye la base fundamental para el estudio de sistemas jerárquicos de N-cuerpos, es decir sistemas que pueden dividirse en varios subsistemas independientes formados unicamente por dos cuerpos.
Existen sin embargo situaciones especiales (algunas realmente interesantes) en las que no es posible estudiar la dinámica de sistemas de N-cuerpos muy distintos, es decir, sistemas que en primera instancia podrían considerarse como jerárquicos, simplemente como la combinación de sistemas independientes de dos cuerpos.
Consideremos por ejemplo el siguiente sistema formado tres partículas de masas muy diferentes:
sistema=[
# Particula 0
dict(
m=100.0,
r=[-0.142857,0,0],
v=[0,-2.958,0]
),
# Particula 1
dict(
m=5.0,
r=[2.85714,0,0],
v=[0,2.958,0]
),
# Particula 2
dict(
m=0.01,
r=[3.62345,0,0],
v=[0,4.9700107,0]
)
]
Aunque los valores de las posiciones y velocidades parecen aleatorios o arbitrariamente precisos, han sido elegidos cuidadosamente para servir al propósito esta sección. Más adelante se entenderá mejor la razón de está elección particular.
Resolvamos numéricamente las ecuaciones de movimiento del sistema con las rutinas desarrolladas en el Capítulo El problema de los N cuerpos:
from numpy import linspace
ts=linspace(0,2,100)
from pymcel.export import ncuerpos_solucion
rs,vs,rps,vps,constantes=ncuerpos_solucion(sistema,ts)
Una gráfica de la posición de las partículas respecto al centro de masa, se obtiene con el sigiente algoritmo:
from pymcel.export import plot_ncuerpos_3d
fig=plot_ncuerpos_3d(rps,vps)
ax=fig.gca()
Las dos partículas más livianas en el sistema (aquellas con las órbitas más amplias) parecen describir trayectorias Keplerianas (aproximadamente circulares) alrededor de la partícula más masiva cerca al origen de coordenadas. En este sentido, podríamos suponer que se trata de un sistema jerarquico central de acuerdo con las definiciones que introdujimos en la Sección Motivación al problema de los dos cuerpos.
Pero el sistema tiene una característica peculiar. Como puede apreciarse claramente en la Figura (code:trescuerpos_motivacion), la velocidad angular de las dos partículas más livianas es aparentemente la misma. Como resultado de esta coincidencia la distancia relativa entre ambas partículas se mantiene aproximadamente constante. La partícula con la masa más pequeña (la más externa) parece estacionada respecto a la partícula de masa intermedia, en un punto que se encuentra diametralmente opuesto al cuerpo central.
Si suponemos que las dos partículas livianas forman con el cuerpo central sendos subsistemas de dos cuerpos, la configuración observada claramente contradice el teorema armónico (tercera ley). Como para ambos subsistemas la masa central es la misma, esperaríamos que la partícula con la órbita más grande se moviera también con menor velocidad angular. Pero no es así. Es claro, que la partícula más externa no parece estar obedeciendo las reglas del problema de los dos cuerpos. En consecuencia debemos concluir que este sistema no puede describirse como un sistema jerarquico.
Aunque situaciones como la presentada aquí no parecerían muy probables en la naturaleza (tan solo consíderese el hecho de que las condiciones iniciales tuvieron que ser escogidas cuidadosamente para generar las peculiaridades en el sistema) sus propiedades podrían ser aprovechadas para crear sistemas de N cuerpos artificiales (sistemas que involucren vehículos espaciales). Así por ejemplo, el sistema estudiado aquí es un buen ejemplo de una situación en la que buscaramos estacionar una nave espacial (correspondiente a la partícula más liviana) a una distancia constante, pero no pequeña, de un planeta (la Tierra por ejemplo que en esta situación correspondería a la partícula de masa intermedia), mientras ambas, la nave y el planeta, orbitan el Sol (el cuerpo central).
Pero el interés en los sistemas no jerarquicos de tres o más cuerpos va más allá de las aplicaciones que podamos concebir en los viajes espaciales (aunque en realidad esta es el área donde tienen mayor aplicación). Otros sistemas astronómicos naturales, tales como aquellos formados por una estrella, un planeta y cuerpos pequeños que son dispersados por este último o se mantienen capturados por la gravedad mutua de ambos, evidencias algunas propiedades particulares que vale la pena conocer en detalle.
Este es justamente el propósito de este capítulo. Queremos responder a la pregunta de qué cosas podemos aprender sobre la dinámica (sin resolver numericamente las ecuaciones de movimiento) de sistemas no jerarquicos de tres cuerpos que tengan propiedades similares al sistema presentado al principio de esta sección o a los sistemas mencionados en el párrafo anterior. Esta es justamente la razón de la palabra restringido en el título del capítulo: no abordaremos aquí el problema general de tres cuerpos (que en realidad es un caso particular del problema de N cuerpos que ya vimos en el capítulo correspondiente) sino que nos restringiremos a sistemas particulares, que evidencian propiedades que pueden ser útiles para diseñar sistemas artificiales pero también para entender algunos sistemas naturales.
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